Historia de los Poligonos

Historia de los Polígonos

Todo comenzó en Egipto, después de que el ser humano por una necesidad de contar, crea los números, empezó a hacer medir y a hacer cálculos. Así contempló  a la  naturaleza y a admirar su belleza. Quiso imitarla  y fue así como empezó a crear conceptos que contenían líneas, formas, figuras, cuerpos dando origen a la Geometría. Geometría viene de las raíces griegas: geo, tierra, y metrón, medida, por lo tanto su significado es "medida de la tierra". De acuerdo con os registros históricos, los conceptos geométricos que el hombre ideó para explicarse la naturaleza nacieron en Egipto, específicamente a orilla del río Nilo, puesto que debían marcar los límites de los terrenos ribereños para construir diques paralelos que encauzaran las aguas, ya que se estaban causando inundaciones que perjudicaban los cultivos. Se dice que las clases pudientes podía saber de esta manera cuanto era lo que se sembraban y de esta forma, cobraban impuestos a sus súbditos.

Para medir las tierras los egipcios aprendieron a calcular el área de los rectángulos y de los triángulos usando cuerdas.

Los babilonios

Este pueblo conocía las áreas de los triángulos y los rectángulos, ya que tenían que resolver problemas de herencia para poder repartir las tierras que se heredaban. También conocieron las áreas de los pentágonos, hexágonos y heptágonos y especialmente estudiaron mucho los círculos. De lo babilónicos hemos heredado el sistema sexagesimal que es la división de la circunferencia en 360 grados y la de cada grado en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos, así que nuestra manera de contar el tiempo viene de ellos.

Los griegos

Fueron quienes dieron carácter científico a la geometría al incorporar demostraciones con base en razonamientos.

Tales de Mileto (624 a.C.-548 a.C.) concibió la posibilidad de explicar diferentes principios geométricos a partir de verdades simples y evidentes o axiomas. Fue en Egipto donde aprendió geometría de los sacerdotes de Menfis. Fue el primer filósofo griego que intentó dar una explicación física del Universo, que para él era un espacio racional pese a su aparente desorden. En geometría elaboró una serie de teoremas generales y de razonamientos deductivos a partir de estos. Todo ello fue recopilado posteriormente por Euclides en su obra Elementos, pero se debe a Tales el mérito de haber introducido en Grecia el interés por los estudios geométricos.

Son cinco sus teoremas geométricos:

1. Todo diámetro bisecta a la circunferencia

2. Los ángulos en la base de un triángulo isósceles son iguales

3. Los ángulos opuestos por el vértice son iguales

4. Dos triángulos que tienen dos ángulos y un lado respectivamente iguales son iguales

5. Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto

Algunas curiosidades sobre el sabio Tales es recordado principalmente por su cosmología basada en el agua como esencia de toda la materia y por su predicción del eclipse de sol, que debió ocurrir el 28 de mayo del 585 a. C. Lo espectacular de esta predicción es que detuvo la batalla entre Alyattes y Cyaxares en ese año. Es probable que el hecho de que el eclipse fuera total y la localidad afectada correspondiera a la de una batalla importante contribuyera enormemente a la reputación de Tales como astrónomo.

Pitágoras (582-496 a.C)Originario de la isla de Samos situada en el Mar Egeo, este territorio era gobernado por el tirano Polícrates, por lo que Pitágoras emigró hacia el occidente, fundando en Crotona, al sur de Italia, una asociación que no tenía el carácter de una escuela filosófica sino el de una comunidad religiosa. El símbolo de la Escuela de Pitágoras y por medio del cual se reconocían entre sí, era el pentágono estrellado, que ellos llamaban pentalfa (cinco alfas). En esta Escuela se entraba luego de prestarle juramento al número diez, todos los documentos se mantenían de manera oral y nadie podía divulgarlos.

Para los pitagóricos la tierra era esférica y no era el centro del universo. La tierra y los planetas giraban a la vez que el sol en torno al fuego central o “corazón del Cosmos” identificado con el número uno. A Pitágoras se le debe el carácter deductivo de la Geometría y el encadenamiento lógico de sus proposiciones, cualidades que conservan hasta nuestros días. La base de su filosofía fue la ciencia de los números así como el estudio de la geometría. Pitágoras es famoso por haber descubierto el Teorema que lleva su nombre:  si sumamos los cuadrados de los lados menores obtendremos los cuadrados del lado mayor, también conocido como hipotenusa.

Platón (427-348 a.C)

De Atenas o Egina. Pertenecía a una familia noble. El año 399 tiene lugar la condena y muerte de Sócrates. Temiendo ser molestado por su condición de amigo y discípulo de Sócrates, Platón se refugia en Megara Asimismo viajó por Egipto, Sicilia e Italia en compañía del matemático Eudoxio. En el 387 regresa a Atenas y funda la Academia, primera escuela de filosofía organizada, origen de las actuales universidades. Puso a la entrada de la Academia, su célebre y significativa frase: “No entres aquí el que no conoce geometría”.

Según Platón, el estudio de la Geometría debía empezarse en el orden siguiente:

1. Definiciones

2. Axiomas

3. Postulados

4. Teoremas

Matemáticos posteriores como Euclides adaptaron esta metodología. Los sólidos platónicos, cuerpos platónicos, cuerpos cósmicos, sólidos pitagóricos o poliedros de Platón son cuerpos geométricos caracterizados por ser poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares iguales y en cuyos vértices se unen el mismo número de caras.

Existen cinco sólidos platónicos diferentes: El tetraedro, de cuatro caras triangulares; el hexaedro, o cubo, de seis caras cuadradas; el octaedro, de ocho caras triangulares; el dodecaedro, de doce caras pentagonales y el icosaedro, de veinte caras triangulares.

Los cinco sólidos platónicos representan la composición y armonía de las cosas. En el Timeo se dice que la Tierra está formada por átomos agrupados en forma de hexaedros; el fuego, de tetraedros, el aire, de octaedros, y el agua, de icosaedros. El universo en su totalidad está figurado en el dodecaedro.

Euclides (325 a.C. 265 a.C). Es conocido como el Padre de la Geometría.  Poco se sabe de este matemático griego, incluso algunos opinan que nunca existió, sino que sus obras pertenecen a un grupo de matemáticos griegos que se hacía llamar por ese nombre. En todo caso se dice que trabajó trabajó en la Biblioteca de Alejandría. Su gran mérito consistió en recopilar y sintetizar los conocimientos geométricos de su época. Su libro clave Elementos, constaba originalmente de trece volúmenes en los que se exponía la geometría clásica.

  

Para sentar las bases de la Geometría, Euclides utilizó los axiomas, que son  principios fundamentales que se consideran evidentes, y a partir de los cuales se construye una teoría. Él los llamó postulados y formuló cinco primordiales que se pueden exponer de varias maneras equivalentes, una de las cuales es:

1. Dos puntos cualesquiera determinan un segmento de recta.

2. Un segmento de recta se puede extender indefinidamente en una línea recta.

3. Se puede trazar una circunferencia dados un centro y un radio cualquiera.

4. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.

5. Postulado de las paralelas. Si una línea recta corta a otras dos, de tal manera que la suma de los dos ángulos interiores del mismo lado sea menor que dos rectos, las otras dos rectas se cortan, al prolongarlas, por el lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.

Este último postulado tiene un equivalente, que es el más usado en los libros de geometría:

· Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela.

El gran mérito de Euclides fue deducir toda la geometría de su época a partir de estos 5 postulados. Tanto es así, que a la geometría clásica se le llama en su honor Geometría Euclídea o Euclidiana.

El quinto postulado siempre fue polémico. Muchos pensaban que no era un axioma sino un teorema, es decir, que se podía deducir a partir de los otros 4, y durante siglos se intentó hallar la manera de hacerlo. Sin embargo, resultó que no era posible.

GEOMETRÍAS NO EUCLIDEAS

Parecería raro imaginar geometrías en las que no se cumplan los postulados de Euclides, pero algunos matemáticos nos ilustran con el siguiente ejemplo el hecho de que si las puede haber: “basta con pensar en una esfera, como puede ser un balón de fútbol o, aproximadamente, nuestro planeta Tierra. Si dibujamos una recta sobre esta esfera, ésta no podrá ser infinita como en un plano, puesto que acabaremos volviendo al mismo punto, y por tanto su tamaño será el del diámetro de la esfera, es decir, que no tendremos rectas en el sentido tradicional, sino que tendremos circunferencias que cumplen la misma función que las rectas en la geometría tradicional”.

En una esfera la geometría no es igual que en un plano

Desde el Siglo XIX se consideran geometrías tan válidas como la ecuclidian. Se puede decir que existen infinidad de geometrías dependiendo de la curvatura de la superficie con la que tratemos. En ese sentido, la geometría euclídea sólo es el caso particular que se inscribe en un plano, es decir, cuando la curvatura es nula.

LA GEOMETRÍA Y LA RELATIVIDAD

- ALBERT EINSTEIN - 

Desde Eisntein se supone que vivimos en un universo de cuatro dimensiones, las tres espaciales más el tiempo. Este asunto de la curvatura del espacio-tiempo se puede imaginar más fácilmente sobre un supuesto universo de sólo dos dimensiones, es decir un plano, como podría ser una superficie acolchonada. Si en ese colchón se pone una pequeña esfera, esta se quedará quieta. Sin embargo si ponemos un elemento pesado, como por ejemplo una bola grande de hierro, ésta hundirá la superficie de forma que la pequeña esfera  se acercarse a la bola de hierro.

El espacio se curva alrededor de los cuerpos

En ese sentido la curvatura de la superficie acolchonada sería un ejemplo en dos dimensiones de cómo la Tierra curva el espacio a su alrededor atrayendo a los objetos.

Y fue al encontrar el funcionamiento de este espacio curvo a lo que se dedicó Einstein durante años: “La curvatura del espacio-tiempo en una zona del universo es igual al contenido de masa y energía de esa región”.

Esa curvatura no es la de Euclides, sino una no euclidiana que supone resultados que nos dan explicaciones distintas para fenómenos que hasta entonces se creían sabidos. Los planetas que giran alrededor del Sol en realidad están describiendo una línea recta, pero, como vimos antes, una recta en un espacio no euclidiano es distinta de las rectas que suponíamos con Euclides.

LOS PROBLEMAS DEL FUTURO

- D. HILBERT -

Matemático alemán. Durante el siglo XIX se puso de manifiesto, cada vez de una manera más evidente, que Euclides no había partido de conceptos patentes y que había supuesto muchas cosas sin especificarlas. Se hicieron esfuerzos para fijar un número mínimo de términos y definiciones básicas sin identificar y de éstas deducir rigurosamente la estructura matemática completa. Esta es la ciencia axiomática, y fueron Hilbert y Peano quienes la crearon.  En 1899 Hilbert publicó “Foundations of Geometry" (Fundamentos de Geometría), en donde exponía satisfactoriamente una serie de axiomas de geometría. Probó que su sistema de axiomas era bastante completo, algo que los griegos habían admitido de los axiomas de Euclides, pero sin demostrarlo. Así completó el trabajo de Euclides sin efectuar cambios en la esencia, pero su fundamento pasó de intuitivo a lógico. En el Congreso Internacional de París en 1900, en su conferencia “Problemas matemáticos”, propuso de 23 problemas que estaban sin resolver. Una de estas cuestiones era: ¿son las matemáticas decidibles? es decir, ¿hay un método definido que pueda aplicarse a cualquier sentencia matemática y que nos diga si esa sentencia es cierta o no? Para resolverla Alan Turing construyó en 1936 un modelo formal de computador, “La Máquina de Turing” y demostró que había problemas tales que una máquina no podía resolver.

Otros problemas: ¿es la matemática completa?, ¿puede ser demostrada o refutada cualquier sentencia matemática? o ¿es la matemática consistente? ¿es cierto que sentencias tales como 0 = 1 no pueden demostrarse por métodos válidos?.

En 1931, Kurt Godel fue capaz de responder a estas dos preguntas, demostrando que cualquier sistema formal suficientemente potente es inconsistente o incompleto.

Hilbert trabajó sobre los invariantes algebraicos, geometría (su libro Los fundamentos de la Geometría es un clásico), ecuaciones integrales.

El epitafio de Hilbert es "Wir müssen wissen, wir werden wissen" ("Debemos saber, de modo que sabremos")